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\begin{document}

\begin{center}
{\bf \Large 1 \\ Problemas, teor\'{\i}a cin\'etica}
\end{center}


\begin{enumerate}

{\bf \item  Ecuaci\'on de estado y compresi\'on adiab\'atica del gas ideal.}


\begin{enumerate}
\item Sea $A$ una de las paredes de un recipiente que contiene un gas
ideal. Consideramos el espacio reportado al triedro directo
$(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$, en que $\hat{z}$ es paralelo a la normal
en la pared $A$. Encuentre el n\'umero de part\'{\i}culas que chocan
en un tiempo $\Delta t$ en $A$, con velocidades orientadas en
direcciones que forman un \'angulo con el eje $\hat{z}$ entre $\theta$
y $\theta+d\theta$ (coordenadas esf\'ericas), y con modulo de
velocidades entre $\vec{v}$ y $\vec{v}+d\vec{v}$.


\item Deduzca la ley de gas ideal $p=nkT$ calculando la presi\'on
ejercida sobre la pared, suponiendo que las part\'{\i}culas chocan
el\'asticamente con la pared.

\item Consideramos ahora una compresi\'on/dilataci\'on adiab\'atica
del gas, en que la pared $A$ es ahora un pist\'on que se mueve con
velocidad $\vec{v_p}$ mucho menor que cualquiera de las velocidades
de las part\'{\i}culas.

\begin{enumerate}
\item Muestre que la cantidad de energ\'{\i}a perdida por el gas en el
choce de una part\'{\i}cula de masa $m$ con la pared es \[\delta E= -2
m v_z v_p, \] en el sistema de referencia ligado al laboratorio
(ayuda: en el sistema ligado al pist\'on, el choque es el\'astico, y
haga explicita la hipotesis adiab\'atica). 

\item Sumando sobre todas las part\'{\i}culas que chocan con el
pist\'on en un tiempo $\Delta t$, muestre que la cantidad de
energ\'{\i}a perdida por el gas es 
\[  \Delta E = - \frac{1}{3} m n \left<v^2\right> \underbrace{S \Delta
t v_p}_{\Delta V}, \] en que $\Delta V$ es el incremento de volumen en
el tiempo $\Delta t$.

\item Ligue la relaci\'on deducida anteriormente con la energ\'{\i}a
total del gas, y llegue a 
\[ -\frac{2}{3} \frac{E}{V} = \frac{\Delta E}{\Delta V}. \] 

\item Demuestre que en la compresi\'on adiab\'atica de un gas ideal
tenemos la relaci\'on
\[ P V^{\frac{5}{3}} = \mathrm{Constante}. \] 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


{\bf \item Ecuaci\'on de estado y energ\'{\i}a total de un gas ideal
en un campo de energ\'{\i}a potencial.}

Consideramos un volumen $V$ con un gas ideal, en el cual las
part\'{\i}culas se mueven con energ\'{\i}a potencial nula, salvo por
unas zonas en las cuales adquieren una cierta energ\'{\i}a potencial
$V_\circ>0$. El tama\~no y la forma de las zonas de alta energ\'{\i}a
potencial es cualquiera, y el volumen total ocupado por estas zonas es
una fracci\'on $f$ del $V$. Se pide mostrar que la energ\'{\i}a total
media del gas es,
\[E = \frac{3}{2} k T N + \frac{N V_\circ f e^{-\beta
V_\circ}}{fe^{-\beta V_\circ} + (1-f)}, \] y explicar f\'{\i}sicamente
por qu\'e si $V_\circ \rightarrow +\infty$ o si $V_\circ =0$ se
recupera la expresi\'on para el gas ideal, $E=\frac{3}{2}N
kT$. (Ayuda: recordar que la energ\'{\i}a total promedio es la suma de
las energ\'{\i}as promedios de todas las part\'{\i}culas).


\end{enumerate} 


\end{document}
