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Problemas, teoría cinética

Ecuación de estado y compresión adiabática del gas ideal.

1. Sea $A$ una de las paredes de un recipiente que contiene un gas ideal. Consideramos el espacio reportado al triedro directo $(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$, en que $\hat{z}$ es paralelo a la normal en la pared $A$. Encuentre el número de partículas que chocan en un tiempo $\Delta t$ en $A$, con velocidades orientadas en direcciones que forman un ángulo con el eje $\hat{z}$ entre $\theta$ y $\theta+d\theta$ (coordenadas esféricas), y con modulo de velocidades entre $\vec{v}$ y $\vec{v}+d\vec{v}$.

2. Deduzca la ley de gas ideal $p=nkT$ calculando la presión ejercida sobre la pared, suponiendo que las partículas chocan elásticamente con la pared.

3. Consideramos ahora una compresión/dilatación adiabática del gas, en que la pared $A$ es ahora un pistón que se mueve con velocidad $\vec{v_p}$ mucho menor que cualquiera de las velocidades de las partículas.
   1. Muestre que la cantidad de energía perdida por el gas en el choce de una partícula de masa $m$ con la pared es
      
      $$\delta E= -2 m v_z v_p,$$
      
      
      en el sistema de referencia ligado al laboratorio (ayuda: en el sistema ligado al pistón, el choque es elástico, y haga explicita la hipotesis adiabática).

   2. Sumando sobre todas las partículas que chocan con el pistón en un tiempo $\Delta t$, muestre que la cantidad de energía perdida por el gas es
      
      $$\Delta E = - \frac{1}{3} m n \left<v^2\right> \underbrace{S \Delta t v_p}_{\Delta V},$$
      
      
      en que $\Delta V$ es el incremento de volumen en el tiempo $\Delta t$.

   3. Ligue la relación deducida anteriormente con la energía total del gas, y llegue a
      
      $$-\frac{2}{3} \frac{E}{V} = \frac{\Delta E}{\Delta V}.$$
      
      

   4. Demuestre que en la compresión adiabática de un gas ideal tenemos la relación
      
      $$P V^{\frac{5}{3}} = \mathrm{Constante}.$$
      
      

Ecuación de estado y energía total de un gas ideal en un campo de energía potencial.

Consideramos un volumen $V$ con un gas ideal, en el cual las partículas se mueven con energía potencial nula, salvo por unas zonas en las cuales adquieren una cierta energía potencial $V_\circ>0$. El tamaño y la forma de las zonas de alta energía potencial es cualquiera, y el volumen total ocupado por estas zonas es una fracción $f$ del $V$. Se pide mostrar que la energía total media del gas es,


$$E = \frac{3}{2} k T N + \frac{N V_\circ f e^{-\beta V_\circ}}{fe^{-\beta V_\circ} + (1-f)},$$


y explicar físicamente por qué si $V_\circ \rightarrow +\infty$ o si $V_\circ =0$ se recupera la expresión para el gas ideal, $E=\frac{3}{2}N kT$. (Ayuda: recordar que la energía total promedio es la suma de las energías promedios de todas las partículas).