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\begin{document}
\initfloatingfigs

\begin{center}
{\bf \Large 2 \\ Problemas, termodin\'amica estad\'{\i}stica}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}

{\bf \item  Temperatura y entrop\'{\i}a.}

Considere un sistema $A$, con energ\'{\i}a $E$, entrop\'{\i}a
$S=k\ln\Omega$ y $\Omega$ estados igualmentes probables, en equilibrio
con un reservorio de temperatura $A^\prime$. Si la temperatura es \[
\beta = \frac{1}{kT} = \frac{\partial \ln \Omega } {\partial E}, \]
demostrar que el valor mas probable de $E$ corresponde al m\'aximo de
entrop\'{\i}a de $\{A+A^\prime\}$, que $\beta = \beta^\prime$, y
calcular la probabilidad que $A$ est\'e en un cierto estado $r$ con
energ\'{\i}a $E_r$. Si $A$ es un gas ideal, calcule la energ\'{\i}a
media de una de sus $N$ mol\'eculas, y compare con
$\langle\epsilon\rangle = \frac{3}{2}kT$.

{\bf \item Entrop\'{\i}a de un gas ideal.}

Mostrar que para un gas ideal, \[ dS= \frac{C_V}{T}dT+\frac{Nk}{V}dV, \]
 y que la diferencia de entrop\'{\i}a entre dos estados $(T_0,V_0)$ y
$(T_1,V_1)$ es \[ S(T_1,V_1) - S(T_0,V_0) = C_V \ln \frac{T_1}{T_0} +
Nk\ln\frac{V_1}{V_0}. \] Para ello graphique en un diagrama $(P,V)$
dos ejemplos de processos que permiten unir los puntos
$(P_0(T_0,V_0),V_0)$ y $(P_1(T_1,V_1),V_1)$. Ver que $S(T_1,V_1) -
S(T_0,V_0)$ es simplemente la diferencia entre la entrop\'{\i}a
evaluada en dos puntos, y que no depende de proceso espec\'{\i}fico
que lleva el sistema de $(P_0,V_0)$ a $(P_1,V_1)$ (en otras palabras,
 la entrop\'{\i}a es una funci\'on de estado). 

{\bf \item Compresi\'on y expansi\'on isotermal de un gas ideal}

\begin{enumerate}
\item Considere el proceso isotermal (o sea en contacto con un
reservorio de temperatura) que lleva un gas ideal de un volumen $V_0$
a un volumen $V_1$. Calcular $\Delta S = S_1- S_0$, y graficar el
proceso por una linea en un diagrama $(P,V)$. Demarcar el \'area en el
diagrama que corresponde al trabajo realisado en la compresi\'on. Cual
es la variaci\'on en energ\'{\i}a interna? Cuanto calor recibi\'o el
gas ideal?


\item La diferencia de entrop\'{\i}a entre los puntos
$M_0(P_0(T,V_0),V_0)$ y $M_1(P_1(T,V_1),V_1)$ no depende del camino
que los una en el diagrama $(P,V)$. Pero el trabajo ejercido sobre el
gas ideal si depende del camino.  Considere ahora un proceso
isob\'arico seguido por un proceso isoc\'orico, que unen los puntos
$M_0$ y $M_1$. Calcule, y grafique, el trabajo ejercido sobre el
sistema en este caso, y calcule la diferencia de entrop\'{\i}a
integrando sobre este nuevo camino. 

\item Considere ahora la expansi\'on adiab\'atica y libre de un gas
ideal aislado, en el cual se aumenta bruscamente el volumen. El gas no
est\'a en equilibrio durante la expansi\'on, y por lo tanto no puede
representarse el estado transitorio por puntos en el diagrama $(P,V)$.
Cual es la variaci\'on de energ\'{\i}a interna al pasar de un volumen
$V_0$ a $V_1$? Cual es la variaci\'on en temperatura? Cual es la
variaci\'on de entrop\'{\i}a?  Este proceso es reversible?  (ayuda:
convencerse de que en la expansi\'on libre no hay fuerza que retenga
la pared, y por lo tanto el trabajo ejercido por el gas es cero, y use
los dos puntos anteriores).

\end{enumerate}

\newpage
{\bf \item Aumento de entrop\'{\i}a al llevar dos sistemas en
equilibrio t\'ermico}

Considere un sistema $A$ con volumen constante a temperatura $T_0$ con
capacidad cal\'orica $C_V$ en contacto con un reservorio $A_\circ$ a
temperatura $T_1$. Mostrar que al concluir el proceso que lleva los
dos sistema al equilibrio, el aumento de entrop\'{\i}a del sistema
${A+A_\circ}$ es \[\Delta S = C_V \ln \frac{T_0}{T_1}- C_V
\frac{T_0-T_1}{T_0}, \] y que $\Delta S > 0$.

{\bf \item Transformaciones sobre un gas ideal}

Consideramos un mol de gas ideal, con ecuaci\'on de estado $pV=RT$
($n=1$, el n\'umero de moles), cuya energ\'{\i}a interna es
$U=U_\circ+aT$, donde $a$ es una constante positiva. 

\begin{enumerate}

\item Expresar la entalp\'{\i}a $H$ en funci\'on de $T$; determinar los
valores de $C_V$ y $C_p$ (recuerde que $dU=\delta Q + \delta W$, y que
$C_p = \left. \frac{\delta Q}{dT} \right|_p$). 

\item Partiendo de un estado de equilibrio inicial $A(T_A,p_A)$,
sometemos este mol a diversas transformaciones \underline{reversibles}:

\begin{center}
\resizebox{5cm}{!}{\epsfig{file=pv.eps}} 
\end{center}

\begin{itemize}
\item  Transformaci\'on adiab\'atica:
$A\rightarrow B$. A partir de la ecuaci\'on de compresi\'on
adiab\'atica, $PV^\gamma = \mathrm{Cte}$ (donde $\gamma = C_p/C_V$),
determinar $p_B$ dado $T_B$, y calcular el trabajo $W_{A\rightarrow
B}$. Deducir la variaci\'on de energ\'{\i}a interna y verificar que no
depende m\'as que de $T_A$ y $T_B$.  Cual es la variaci\'on de
entrop\'{\i}a?


\item Transformaci\'on isobara: $A\rightarrow A^{\prime}$, donde el
estado $A^{\prime}$ est\'a a la temperatura $T_B$. Determinar
$W_{A\rightarrow A^{\prime}}$, $Q_{A\rightarrow A^{\prime}}$, y
$U(A^{\prime})-U(A)$. Calcular la variaci\'on de entrop\'{\i}a. 

\item Transformaci\'on isoterma: $A^{\prime}\rightarrow B$. Determinar
$W_{A^{\prime}\rightarrow B}$, $Q_{A^{\prime}\rightarrow B}$, y
$U(B)-U(A^{\prime})$. Calcular la variaci\'on de entrop\'{\i}a. Usando
los resultados de los dos puntos anteriores, calcular la diferencia de
entrop\'{\i}a. 
\end{itemize} 

\item Representar las transformaciones $A\rightarrow B $ y
$A\rightarrow A^{\prime}$ en un diagrama $(T,S)$. Escribiendo de dos
maneras distintas el diferencial $dS$ de $S(p,T)$, determinar
$\left. \frac{\partial S}{\partial T}\right|_{p}$; deducir y dibujar
la pinta de la curva que representa la transformaci\'on de
$A\rightarrow A^{\prime}$.


\item Partiendo ahora del estado de equilibrio $A^{\prime}$ aplicamos
bruscamente a este mol la presi\'on $p_B$, manteniendolo en contacto
con un reservorio a temperatura $T_B$. Cuando el nuevo equilibrio se
establece, cual es el punto que representa el estado del gas?
Expresar la cantidad de trabajo $W_\mathrm{IR}$ y de calor
$Q_\mathrm{IR}$ intercambiados con el medio externo en esta
transformaci\'on. Cual es la variaci\'on de entrop\'{\i}a del mol? 

\item Escribir la expresi\'on del diferencial $dS$ en funci\'on de
$dU$ y de $dV$. Usando la ecuaci\'on de estado y de energ\'{\i}a
interna, encontrar una expresi\'on para $S(U,V)$ de un mol de
gas. Deducir una expresi\'on para el n\'umero de microestados
$\Omega(U,V)$.

\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}
