Control 2 FI34A, Sección 03

Prof: Simon Casassus Ayudante: Francisco Madariaga

\underline{Relaciones útiles}:

En el espacio vacío,

∇ · E⃗ = 0, ∇ ∧ E⃗ = −\frac{∂B⃗}{∂t} ,  (1)
∇ · B⃗ = 0, c^{2}∇ ∧ B⃗ = \frac{∂E⃗}{∂t} ,
S⃗ = ϵ_{∘}c^{2}E⃗ ∧ B⃗, u = \frac{1}{2}ϵ_{∘}∥E⃗∥^{2} + \frac{1}{2}ϵ_{∘} c^{2}∥B⃗∥^{2}.

Fórmula de Larmor:

P_{tot} = \frac{1}{6πc}μ_{∘} ∥\frac{d^{2}}{dt^{2}} d⃗∥^{2} ,  (2)

con μ_{∘} = 4π 10^{−7}, y d⃗ = ∑_{i} q_{i}r⃗_{i} es el dipolo electrico asociado a un conjunto de cargas q_{i}.

I \underline{Superposición de dos ondas propagandose en sentido opuesto}.

En este problema consideramos el espacio reportado al triedro directo {x̂, ŷ, ẑ}.

1. Escribir expresiones, en notación compleja, para los campos eléctricos E⃗_{1} y E⃗_{2} de dos ondas con el mismo módulo ∥E⃗_{∘}∥, mismo vector de onda k y misma frecuencia ángular ω (pulsación), pero propagandose en sentido opuesto segun el eje x̂ (E⃗_{1} según +x̂).

2. Para cada una de estas ondas, determinar,

a) los campos magnéticos B⃗_{1} y B⃗_{2},

b) los vectores de Poynting S⃗_{1} y S⃗_{2}.

c) las densidades de energías u_{1} y u_{2}.

3. Caracterisar en notación compleja la onda resultante de la superposición de estas dos ondas, E⃗_{3} y B⃗_{3}. Luego dar las expresiones reales de E⃗_{3} y B⃗_{3}, y mostrar que ReE⃗_{3} se factorisa de esta forma: ∥E⃗_{3}∥ = f(t)g(x).

4. Calcular el vector de Poynting S⃗_{3} de la onda resultante. ¿Cual es la potencia media (promedio temporal) transportada por esta onda? Comparar con la pregunta 2.

5. Calcular la densidad de energía de la onda resultante, comparar con 2 y explicar el resultado.

II \underline{Emisión de plasma en la ausencia de campo magnético}.

Consideramos un gas de e^{−} y p libres (hidrógeno ionisado en el espacio interestelar).

1. ¿Un e^{−} libre, sin interactuar con ninguna otra partícular, irradía (explicar)? ¿ Bajo que condiciones los e^{−} y los p que componen el plasma irradian? ¿Cuando se dan estas condiciones?

2. Demostrar que en la aproximación dipolar los encuentros entre electrones no producen radiación (use la fórmula de Larmor, recordando que \frac{d}{dt} d⃗ = −e ∑ v_{i}, en que la suma sólo se extiende a dos electrones de igual masa). Explicar porque los encuentros entre e^{−} y p, en cambio, si producen radiación.

3. Los encuentros entre e^{−} y p son muy breves, durante la mayor parte de la interacción el e^{−} y el p no se sienten. Argumentar porque esto implica que el espectro de frecuencia C_{ω} de la radiación emitida en encuentros entre e^{−} y p es prácticamente plano (o sea que C_{ω} no depende de ω = 2πν). Ayuda: demostrar que para el par de Fourier P_{tot} (potencia irradiada) y C_{ω}, relacionados por,

P_{tot}(t) = ∫_{−∞}^{∞} dω C_{ω} exp(iωt),

C_{ω} = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} dt P_{tot}(t) exp(−iωt),

se cumple que si P_{tot}(t) es una gaussiana de la forma

P_{tot}(t) = P_{∘} exp(−\frac{1}{2} \frac{(t − t_{∘})^{2}}{σ_{t}^{2}} ),

entonces C_{ω} también es gaussiano, con un ancho σ_{w}, y se cumple que

σ_{ω}σ_{t} = Constante.

O sea que si σ_{t} es arbitrariamente chico, C_{ω} es arbitrariamente grande. Concluir.

III

1.

Presión de radiación

a) Una onda electromagnética plana, con intensidad específica (módulo del vector de Poynting) I_{∘} incide sobre una pantalla negra. Cual es la presión egercida por la onda sobre la pantalla?

b) La onda incide ahora sobre un espejo. Cual es la presión de radiación en este caso?

2. \underline{Sandwich de tres polarizadores}.

Luz polarizada circularmente, con intensidad I_{∘} incide sobre un sandwich de tres polarizadores. El primer y el tercer polarizador estan cruzados, i.e. sus ejes transmisores estan a 90^{∘} uno de otro. El polarizador del medio forma un ángulo θ con el primer polarizador. Demostrar que la intensidad de salida es

\frac{1}{2}I_{∘} cos θ^{2}sin θ^{2} .