\documentclass[12pt,letterpaper]{article}
\usepackage{epsfig,graphics}
\usepackage[spanish]{babel}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\topmargin}{-0.6cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\pagestyle{empty}

\begin{document}


\begin{center}
\bf \Large Control 2 \\
FI34A, Secci\'{o}n 03\\
\end{center}

\begin{center}
Prof: Simon Casassus\\
Ayudante: Francisco Madariaga\\
\end{center}


\begin{flushleft}
\Large \underline{Relaciones \'utiles}:
\end{flushleft}
En el espacio vac\'{\i}o, 
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \vec{E} = 0, & & \nabla \wedge \vec{E}
= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \\ \nonumber
\nabla \cdot \vec{B} = 0, &  & c^2 \nabla \wedge \vec{B}
= \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}, \\ \nonumber
\vec{S}=\epsilon_\circ c^2 \vec{E}\wedge\vec{B}, & & u=\frac{1}{2}\epsilon_\circ\|\vec{E}\|^2 +
\frac{1}{2}\epsilon_\circ\,c^2\|\vec{B}\|^2. \\ \nonumber
\end{eqnarray}
\noindent F\'ormula de Larmor:
\begin{equation}
P_\mathrm{tot}= \frac{1}{6 \pi c} \mu_\circ \left\|\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\vec{d}\,\right\|^2, \nonumber 
\end{equation}
con $\mu_\circ = 4 \pi \, 10^{-7}$, y $\vec{d} = \sum_i q_i \vec{r}_i$
es el dipolo electrico asociado a un conjunto de cargas $q_i$. 


\begin{flushleft}
\Large {\bf I} \underline{Superposici\'on de dos ondas propagandose en
sentido opuesto}. 
\end{flushleft}
En este problema consideramos el espacio reportado al triedro directo
$\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}$. 
\begin{enumerate}
\item Escribir expresiones, en notaci\'on compleja, para los campos
el\'ectricos $\vec{E_1}$ y $\vec{E_2}$ de dos ondas con el mismo
m\'odulo $\|\vec{E_\circ}\|$, mismo vector de onda $k$ y misma frecuencia
\'angular $\omega$ (pulsaci\'on), pero propagandose en sentido opuesto
segun el eje $\hat{x}$ ($\vec{E_1}$ seg\'un $+\hat{x}$).
\item Para cada una de estas ondas, determinar, 
\begin{enumerate}
\item los campos magn\'eticos $\vec{B_1}$ y $\vec{B_2}$,
\item los vectores de Poynting $\vec{S_1}$ y $\vec{S_2}$.
\item las densidades de energ\'{\i}as $u_1$ y $u_2$. 
\end{enumerate}
\item Caracterisar en notaci\'on compleja la onda resultante de la
superposici\'on de estas dos ondas, $\vec{E_3}$ y $\vec{B_3}$. Luego
dar las expresiones reales de $\vec{E_3}$ y $\vec{B_3}$, y mostrar que
$\mathrm{Re}\vec{E_3}$ se factorisa de esta forma: $\|\vec{E_3}\|=f(t)g(x)$.
\item Calcular el vector de Poynting $\vec{S_3}$  de la onda
resultante. ?`Cual es la potencia media (promedio temporal) transportada por esta onda?
Comparar con la pregunta 2. 
\item Calcular la densidad de energ\'{\i}a de la onda resultante,
comparar con 2 y explicar el resultado. 
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\Large {\bf II} \underline{Emisi\'on de plasma en la ausencia de campo
magn\'etico}.
\end{flushleft}

Consideramos un gas de {\bf $\mathrm{e}^{-}$} y {\bf p} libres (hidr\'ogeno
ionisado en el espacio interestelar).

\begin{enumerate}
\item ?`Un {\bf $\mathrm{e}^{-}$} libre, sin interactuar con ninguna
otra part\'{\i}cular, irrad\'{\i}a (explicar)? ?` Bajo que condiciones
los {\bf $\mathrm{e}^{-}$} y los {\bf p} que componen el plasma
irradian?  ?`Cuando se dan estas condiciones?

\item Demostrar que en la aproximaci\'on dipolar los encuentros entre
electrones no producen radiaci\'on (use la f\'ormula de Larmor,
recordando que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{d} = -e \sum v_i$,
en que la suma s\'olo se extiende a dos electrones de igual
masa). Explicar porque los encuentros entre {\bf $\mathrm{e}^{-}$} y
{\bf p}, en cambio, si producen radiaci\'on.

\item Los encuentros entre {\bf $\mathrm{e}^{-}$} y {\bf p} son muy
breves, durante la mayor parte de la interacci\'on el {\bf
$\mathrm{e}^{-}$} y el {\bf p} no se sienten. Argumentar porque esto
implica que el espectro de frecuencia $C_\omega$ de la radiaci\'on
emitida en encuentros entre {\bf $\mathrm{e}^{-}$} y {\bf p} es
pr\'acticamente plano (o sea que $C_\omega$ no depende de $\omega = 2
\pi \nu$). Ayuda: demostrar que para el par de Fourier $P_\mathrm{tot}$
(potencia irradiada) y $C_\omega$, relacionados por,
\[ P_\mathrm{tot}(t) =  \int_{-\infty}^{\infty}d\omega  \, C_\omega \exp( i \omega t), \]
\[ C_\omega  = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}dt \, P_\mathrm{tot}(t)   \exp( - i
\omega  t), \]
se cumple que si $P_\mathrm{tot}(t)$ es una gaussiana de la forma
\[P_\mathrm{tot}(t) = P_\circ \exp(-\frac{1}{2}
\frac{(t-t_\circ)^2}{\sigma_t^2}),\] entonces $C_\omega$ tambi\'en es
gaussiano, con un ancho $\sigma_w$, y se cumple que 
\[ \sigma_{\omega} \sigma_t = \mathrm{Constante}. \] O sea que  si $\sigma_t$
es arbitrariamente chico, $C_\omega$ es arbitrariamente
grande. Concluir. 
\end{enumerate}


\begin{flushleft}
\Large {\bf III} 
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item \underline{Presi\'on de radiaci\'on}
\begin{enumerate}
\item Una onda electromagn\'etica plana, con intensidad espec\'{\i}fica
(m\'odulo del vector de Poynting) $I_\circ$ incide sobre una pantalla
negra. Cual es la presi\'on egercida por la onda sobre la pantalla?

\item La onda incide ahora sobre un espejo. Cual es la presi\'on de
radiaci\'on en este caso?
\end{enumerate}

\item \underline{Sandwich de tres polarizadores}. 

Luz polarizada circularmente, con intensidad $I_{\circ}$ incide
sobre  un sandwich de tres polarizadores. El primer y el tercer
polarizador estan cruzados, i.e. sus ejes transmisores estan a
$90^{\circ}$ uno de otro. El polarizador del medio forma un \'angulo
$\theta$ con el primer polarizador. Demostrar que la intensidad de
salida es \[ \frac{1}{2}I_{\circ} \stackrel{2}{\cos\theta}
\stackrel{2}{\sin\theta}. \]



\end{enumerate}




\end{document}







