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\lower3.06pt\hbox{{$\scriptstyle \sim$}}}}
\def\ls{\mathrel{\raise1.16pt\hbox{$<$}\kern-7.0pt
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\begin{document}

\begin{center}
{\bf \Large Propagaci\'on de ondas electromagn\'eticas en medios
dispersivos:  Paquetes de ondas y velocidad de grupo}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}

{\bf \item  Repaso} 

\begin{itemize}

\item Ecuaci\'on de ondas. 

En el vac\'{\i}o, las ecuaciones de Maxwell conducen a que $\vec{E}$ y
$\vec{B}$ satisfacen la ecuaci\'on de ondas, que se puede escribir
gen\'ericamente como: 
\begin{equation} \label{eq:ondas}
\nabla^2 \psi  -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t} =0,
\end{equation}
donde $\psi$ representa cada una de las componentes de $\vec{E}$ o
$\vec{B}$. Las soluciones de Ec.~\ref{eq:ondas} son funciones $Z(x \pm
ct)$, o sea ondas propagandose hacia $+\hat{x}$ o $-\hat{x}$. En el
caso de una perturbaci\'on fin\'{\i}ta, podemos descomponer $Z(x-ct)$ en sus
componentes espectrales: 
\begin{equation}
Z(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(k) e^{i(kx-\omega t)}dk. 
\end{equation}
En el vac\'{\i}o, la relaci\'on de dispersi\'on (la ecuaci\'on que
liga $\omega$ con $k$), es simplemente $\omega(k)=kc$. La onda se
propaga sin deformarse con velocidad $c$ hacia $+\hat{x}$. $f(k)$ es
el espectro de la onda, que se puede ver como la superposic\'on de
componentes monocrom\'aticas. 

\item Gaussianas y transformadas de Fourier. 

La transformada de una gaussiana es otra gaussiana:  Si 
\begin{equation}
Z(x-ct)=Z_{\circ} \exp\left(-\frac{(x-ct)^2}{2\sigma^2}\right)=Z_{\circ}\exp\left(-\frac{u^2}{2\sigma^2}\right),
\end{equation}
con $u=x-ct$, entonces
\begin{equation}
f(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} Z(u) e^{-iku} du = Z_\circ \sqrt{2 \pi}
\sigma \exp\left( -\frac{\sigma k^2}{2}\right), 
\end{equation}
y $f(k)$ es otra gaussiana con dispersion $\sigma_k=1/\sigma$. 
\end{itemize}


{\bf \item Medio dispersivo} 


En los medio lineales y homog\'eneos, las ecuaciones de Maxwell se
modifican y la ecuaci\'on de onda se reemplaza por la ecuaci\'on de
propagaci\'on-absorpci\'on, que es la ecuaci\'on de ondas con un t\'ermino
disipativo: 
\begin{equation}
\nabla^2\psi -\frac{1}{c_1^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}
-\gamma\mu \frac {\partial \psi}{\partial t} = 0,  
\end{equation}
con $\epsilon \mu = 1/c_1^2$. Buscando soluciones en ondas planas
monocrom\'aticas ,
\begin{equation}  \label{eq:ondaplana}
\psi = \psi_{\circ} \exp[i(kx-\omega t)], 
\end{equation}
obtenemos la relaci\'on del dispersi\'on para el medio, 
\begin{equation}
-k^2+\epsilon \mu \omega^2+i\omega \gamma \mu =0.
\end{equation}
Consideramos el caso en que la conductividad $\gamma=0$, o sea medios
aislantes (dielectricos, en los conductores las ondas son
evanescentes). Si $\gamma=0$ las soluciones del tipo
Ec.~\ref{eq:ondaplana} ya fueron estudiadas para la ecuaci\'on de
ondas en el vac\'{\i}o. En el caso de los dielectrico, el \'{\i}ndice
de refracci\'on depende generalmente de $\omega$.

Pero soluciones como las ondas planas monocrom\'aticas no son
f\'{\i}sicas (se extienden hasta $\infty$), y para describir
perturbaciones localisadas formamos un paquete de ondas:
\begin{equation}
Z(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(k) e^{i(kx-\omega t)}
dk. \label{eq:paq}
\end{equation}
Claramente, es Re$[Z(x,t)]$ que cobra sentido f\'{\i}sico y que
describe la onda. En un medio dispersivo las soluciones de la
ecuaci\'on de propagaci\'on-absorpci\'on son paquetes de ondas. Notar
que $Z(x,t) \neq Z(x-c_1 t) $, porque $c_1=c_1(k)$. 

Como ejemplo, podemos formar un paquete de ondas que describa una
gaussiana para $Z(x,t=0)$ tomando un $f(k)$ que tambi\'en sea
gaussiano:
\begin{equation}
f(k)=\exp(-\alpha^2(k-k_{\circ})^2),
\end{equation}
que es una gaussiana con dispersi\'on $\sigma_k = \frac{1}{\sqrt{2}
\alpha}$,  y con la Ec.~\ref{eq:paq},
\begin{eqnarray}
Z(x,0) & = &  \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} \int e^{ilx} e^{-\alpha^2
l^2} dl, ~~\mathrm{con}~ l=k-k_{\circ}, \\ \nonumber
& = &  \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} \int e^{-\alpha^2
(l-\frac{ix}{2\alpha^2})^2} e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}} dl, \\ \nonumber
& = &  \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} e^{-\frac{x^2}{4 \alpha^2}}
\underbrace{   \int
e^{-\alpha^2 z^2} dz}_{\sqrt{\pi}/\alpha}, ~~\mathrm{donde} ~z  =  l -
\frac{ix}{2\alpha^2},
\end{eqnarray}
y finalmente
\begin{equation}
Z(x,0) = \frac{1}{2\alpha\sqrt{\pi}}e^{ik_{\circ}x}
e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}}, 
\end{equation}
o sea Re$[Z(x,0)] = \frac {1}{2\alpha \sqrt{\pi}}\cos(k_{\circ} x)
e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}}$. 

{\bf \item Velocidad de grupo}


Si $f(k)$ es una funci\'on localisada en torno a $k_{\circ}$, podemos
expandir  a primer orden
\begin{equation}
\omega(k) \sim \omega(k_{\circ}) + (k-k_{\circ}) \left. \frac{\partial
\omega}{\partial k} \right|_{k_{\circ}}. \label{eq:1stord} 
\end{equation}
Para ello, despreciamos
$\frac{1}{2}(k-k_{\circ})^2 \left. \frac{\partial^2\omega}{\partial
k^2}\right|_{k_\circ}$, lo cual es v\'alido si la exponential decrece
suficientemente r\'apido.  O  sea, requerimos 
\begin{eqnarray}
(k-k_{\circ})^2 & < & 2 \sigma_k^2, \\ \nonumber
(k-k_{\circ})^2 & \ll & 2  \frac{1}{\omega(k_{\circ})}\left. \frac{\partial^2\omega}{\partial
k^2}\right|_{k_\circ}, 
\end{eqnarray}
y vemos que la expansi\'on Ec.~\ref{eq:1stord} es v\'alida s\'olo cuando
\begin{equation}
\sigma_k^2 \ll
\frac{1}{\omega(k_{\circ})}\left. \frac{\partial^2\omega}{\partial
k^2}\right|_{k_\circ},
\end{equation}
es decir cuando $f(k)$ es suficientemente angosta. 

Con la expansion Ec.~\ref{eq:1stord}, el paquete de ondas
Ec.~\ref{eq:paq}, se escribe 
\begin{equation}
Z(x,t)=\frac{1}{2\pi} e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(k_{\circ}+l) e^{il(x-v_gt)} dl, 
\end{equation}
en que definimos $l=k-k_{\circ}$ y la {\em velocidad de grupo},
\begin{equation}
v_g = \left. \frac{\partial \omega}{\partial \omega} \right|_{k_{\circ}}. 
\end{equation}
Finalmente,
\begin{equation}
Z(x,t)=a(x-v_gt) e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)},
\end{equation}
donde $a(x)$ es la envoltura en $t=0$, que se propaga con $v_g$. 

{\bf \item Dispersi\'on del paquete de ondas}

Si incluimos el t\'ermino de segundo orden en la expansi\'on
Ec.~\ref{eq:1stord}, 
\begin{equation}
\omega(k) \sim \omega(k_{\circ}) + (k-k_{\circ}) \left. \frac{\partial
\omega}{\partial k} \right|_{k_{\circ}} + \frac{1}{2} (k-k_{\circ})^2 \left. \frac{\partial^2
\omega}{\partial k^2} \right|_{k_{\circ}}, \label{eq:2ndord} 
\end{equation}
tomamos $f(k)=\exp(-\frac{(k-k_\circ)^2}{2\sigma_k^2})$, 
despu\'es de un poco de c\'alculo obtenemos
\begin{equation}
Z(x,t)=\frac{1}{2\pi} e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)}
\int_{-\infty}^{+\infty}
e^{-\frac{l^2}{2}(\frac{1}{\sigma_k^2}+i\omega^{\prime\prime}t)} e^{il(x-v_gt)} dl, 
\end{equation}
con $\omega^{\prime\prime}= \left. \frac{\partial^2 \omega}{\partial
k^2} \right|_{k_{\circ}}$. Definiendo
$\frac{1}{\sigma_l^2}=\frac{1}{\sigma_k^2}+i\omega^{\prime\prime}t$ y
$u=x-v_gt$,
\begin{eqnarray}
Z(x,t)= & e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)}
\overbrace{\frac{1}{2\pi}  \int_{-\infty}^{+\infty}dl~
e^{-\frac{l^2}{2\sigma_l^2}}
e^{ilu}}^{\frac{\sigma_l}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{u^2}{2\sigma^2})},
\\ \nonumber
 = & e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)}
\frac{e^{-\frac{u^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}, ~\mathrm{con} \\ \nonumber 
\sigma^{-2} = & \frac{\frac{1}{\sigma_k^2} - i \omega^{\prime\prime}t}{\frac{1}{\sigma_k^4}+ (\omega^{\prime\prime}t)^2}.
\end{eqnarray}
Vemos que, si bien la expresi\'on para Re$[Z(x,t)]$ es complicada, hay
una envoltura gaussiana  con una dispersi\'on que crece con el tiempo:
\begin{equation}
\mathrm{Re}[\sigma^2]=\frac{1}{\sigma_k^2}+(\omega^{\prime\prime}t)^2.
\end{equation}
En conclusi\'on, el incluir el segundo orden en la expansi\'on
Ec.~\ref{eq:1stord} pone en evidencia que al transcurir el tiempo, se
enancha el paquete de ondas.  
\end{enumerate}



\end{document}
