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Propagación de ondas electromagnéticas en medios
dispersivos: Paquetes de ondas y velocidad de grupo
Repaso
Medio dispersivo
En los medio lineales y homogéneos, las ecuaciones de Maxwell se
modifican y la ecuación de onda se reemplaza por la ecuación de
propagación-absorpción, que es la ecuación de ondas con un término
disipativo:
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con
. Buscando soluciones en ondas planas
monocromáticas ,
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(6) |
obtenemos la relación del dispersión para el medio,
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(7) |
Consideramos el caso en que la conductividad , o sea medios
aislantes (dielectricos, en los conductores las ondas son
evanescentes). Si las soluciones del tipo
Ec. 6 ya fueron estudiadas para la ecuación de
ondas en el vacío. En el caso de los dielectrico, el índice
de refracción depende generalmente de .
Pero soluciones como las ondas planas monocromáticas no son
físicas (se extienden hasta ), y para describir
perturbaciones localisadas formamos un paquete de ondas:
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(8) |
Claramente, es Re que cobra sentido físico y que
describe la onda. En un medio dispersivo las soluciones de la
ecuación de propagación-absorpción son paquetes de ondas. Notar
que
, porque .
Como ejemplo, podemos formar un paquete de ondas que describa una
gaussiana para tomando un que también sea
gaussiano:
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(9) |
que es una gaussiana con dispersión
, y con la Ec. 8,
y finalmente
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o sea Re
.
Velocidad de grupo
Si es una función localisada en torno a , podemos
expandir a primer orden
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(12) |
Para ello, despreciamos
, lo cual es válido si la exponential decrece
suficientemente rápido. O sea, requerimos
y vemos que la expansión Ec. 12 es válida sólo cuando
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es decir cuando es suficientemente angosta.
Con la expansion Ec. 12, el paquete de ondas
Ec. 8, se escribe
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en que definimos y la velocidad de grupo,
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(16) |
Finalmente,
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donde es la envoltura en , que se propaga con .
Dispersión del paquete de ondas
Si incluimos el término de segundo orden en la expansión
Ec. 12,
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(18) |
tomamos
,
después de un poco de cálculo obtenemos
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(19) |
con
. Definiendo
y
,
Vemos que, si bien la expresión para Re es complicada, hay
una envoltura gaussiana con una dispersión que crece con el tiempo:
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(21) |
En conclusión, el incluir el segundo orden en la expansión
Ec. 12 pone en evidencia que al transcurir el tiempo, se
enancha el paquete de ondas.
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simon
2002-05-27