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\def\ls{\mathrel{\raise1.16pt\hbox{$<$}\kern-7.0pt
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\begin{document}

\begin{center}
{\bf \Large  Problemas, Cu\'antica}
\end{center}


\begin{enumerate}




{\bf \item Albedo del planeta Marte}


Cuando el Sol, la Tierra y Marte est\'an alineados en ese orden,
observamos con un radio-telescopio que el flujo de radiaci\'on en la
Tierra proveniente del planeta Marte, en $\lambda = 1~cm$ (o sea
$\nu=30~$GHz), es
$F(30~\mathrm{GHz})=3.45~10^{-25}$~W~m$^{-2}$~Hz$^{-1}$. En este problema
estudiaremos las consecuencias de suponer que Marte emite como cuerpo
negro.
\begin{enumerate}
\item Calcular el \'angulo s\'olido $\Omega$ subtendido por Marte,
visto desde la Tierra. (Respuesta: \\ $\Omega =
5.9~10^{-9}~\mathrm{sterad} = 252.8~\mathrm{arcsec}^{2}$,
1~sterad~=~1~rad$^2$.)

\item $F_\nu=\Omega B_\nu$, en que $B_\nu$ es la funci\'on de Planck
(la intensidad espec\'{\i}fica de un cuerpo negro es $B_\nu =
2h\nu^3/c^2\left[\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1\right]$, y se
expresa en W~m$^{-2}$~Hz$^{-1}$~sterad$^{-1}$).  Demuestre que si
$h\nu \ll kT$, podemos usar la aproximaci\'on de Rayleigh-Jeans (R-J):
$F_\nu = \Omega \frac{2}{c^2} \nu^{2} kT$.

\item Usando la aproximaci\'on de R-J, calcular la temperatura de
Marte en base al flujo observado. (Respuesta: $T=210~$K). Ver que se
cumple $h\nu \ll kT$, y que a-posteriori podemos confiar en esta
estimaci\'on.

\item Suponga ahora que Marte absorbe todo la radiaci\'on proveniente
del Sol, y que Marte emite toda la radiaci\'on que absorbe. Estimar
nuevamente la temperatura de Marte. (Respuesta: $T=225~$K).

\item Vemos que la temperatura estimada en el punto anterior es
ligeramente mayor que la temperatura de R-J, que es un resultado
experimental. Para que calzen, parte de la radiaci\'on solar que
llegua a marte debe ser dispersada. Sea el albedo $\omega =
F_\mathrm{reflectado} /
(F_\mathrm{reflectado}+F_\mathrm{absorbido})$. Calcular $\omega$ para
que calzen las temperaturas. (Respuesta: $\omega = 0.24 $, el valor
real es 0.15 -- al igual que para la Tierra, en Marte existen
estaciones y efecto invernadero que comprometen la aproximaci\'on
cuerpo negro estacionario).


\end{enumerate}


Datos: en el sistema MKS, luminosidad del Sol $L_\odot =
3.8~10^{26}$~W, distancia Sol-Marte $D=1.52~AU$, $1AU= 1.5~10^{11}$~m,
radio de marte $R=0.53~R_\oplus$, radio de la Tierra
$R_\oplus=6400~$km, $k=1.38~10^{-23}$~J~K$^{-1}$,
$c=3~10^8$~m~s$^{-1}$, 1~rad\,=\,206265~arcsec, $\sigma =
5.67~10^{-8}$~W~m$^{-2}$~K$^{-4}$, $h=6.62~10^{-34}$~J~s.








{\bf \item Deca\'{\i}mento del \'atomo de hidr\'ogeno en su estado fundamental. }

El \'atomo de hidr\'ogeno es estable, y no irrad\'{\i}a si est\'a en
su estado fundamental, cuando el electron ocupa el radio de Bohr. Pero
la f\'{\i}sica cl\'asica predice que toda carga acelerada emite
radiaci\'on electromagn\'etica.

\begin{enumerate}
\item Estime  num\'ericamente la vida media de un \'atomo de
hidr\'ogeno, usando herramientas de f\'{\i}sica cl\'asica en el modelo
at\'omico de Bohr (respuesta: $10^{-10}$~s, divida potencia emitida
por energ\'{\i}a disponible). Porque no calza con el experimento?
\item Como resolvi\'o este problema la mec\'anica ondulatoria de
Schr\"odinger? Desarrolle los c\'alculos para el estado fundamental, y
explique.
\end{enumerate}

Datos: En el sistema MKS, $\epsilon_\circ=8.85~10^{-12}$~F~m$^{-1}$,
$\mu_\circ = 4\pi~10^{-7}$~H~m$^{-1}$, $e=1.6~10^{-19}$~C,
$c=3~10^8$~m~s$^{-1}$, $m_e=9.1~10^{-31}$~kg,
$\hbar=1.05~10^{-34}$~J~s.

{\bf \item El \'atomo de hidr\'ogeno y el principio de incertidumbre}.

Deduzca el radio de la orbita $a$ del electron en el \'atomo de
hidrogeno para el estado fundamental (que corresponde al m\'{\i}nimo
de energ\'{\i}a $E(a)=\frac{p^2}{2m}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_\circ
a}$), usando el principio de incertidumbre en su caso l\'{\i}mite,
$\Delta p \Delta a = \hbar$, y $\Delta p \sim p$, $\Delta a \sim
a$. (Respuesta: 0.53~\AA). Usando este razonamiento, explique porque
el principio de incertidumbre impide que el electr\'on pierda
energ\'{\i}a, y caiga hacia el n\'ucleo, tal como lo calcul\'o en el
problema anterior en el tratamiento cl\'asico.


\end{enumerate} 


\end{document}
