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\def\ls{\mathrel{\raise1.16pt\hbox{$<$}\kern-7.0pt
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\begin{document}

\begin{center}
{\bf \Large 4 \\ Problemas, radiaci\'on}
\end{center}


\begin{enumerate}

{\bf \item  L\'amina con caras paralelas. }

Iluminamos una l\'amina P con caras paralelas (i.e., una placa delgada
de vidrio), de espesor $e$ e \'{\i}ndice de refracci\'on $n$, gracias
a une fuente extendida emitiendo rayos luminosos $R_0$ bajo varias
incidencias. Observamos en el plano focal de una lente $L$, de eje
perpendicular a la l\'amina $P$, un sistema de anillos circulares
obtenidos por interferencias de la vibraci\'on $R_1$, directamente
reflejada sobre la primera cara de la l\'amina, y de la vibraci\'on
$R_2$, reflejada por la segunda cara, como lo indica la Figura.


\begin{center}
\resizebox{10cm}{!}{\epsfig{file=lamina.eps}} 
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Explicar la formaci\'on del sistema de interferencias (recordar
que la reflecci\'on en la primera cara induce un desfase de $\pi$
adicional al desfase asosciado a la diferencia de camino). 
\item La observaci\'on por transmisi\'on permite ver un fen\'omeno
an\'alogo? 
\item  Que hay que pensar de las vibraciones siguientes, tales como
$R_3$?
\end{enumerate}


{\bf \item  Difracci\'on por un rect\'angulo}


Se perfora en una pantalla plana opaca $E$ una apertura rectangular de
centro $O$ y de lados $a$ y $b$ seg\'un los ejes $\hat{x}$ e
$\hat{y}$. 

$E$ es iluminada bajo incidencia normal por luz monocrom\'atica de
longitud de onda $\lambda$. Estudiamos la luz difractada sobre una
pantalla $E^{\prime}$ colocada en el plano focal de la lente
convergente $L$ con un eje \'optico confundido con $\hat{z}$. Un punto
$M$ de $E$ es ubicado por sus coordenadas $(x,y)$ y un punto
$M^{\prime}$ de $E^{\prime}$ por sus coordenadas
$(x^{\prime},y^{\prime})$, en que los ejes $\hat{x^{\prime}}$ e
$\hat{y^{\prime}}$ son paralelos a $\hat{x}$ e $\hat{y}$.


\begin{enumerate}
\item Dar la expresi\'on de la amplitud compleja de la onda difractada
por un elemento de superficie $dS=dxdy$ en la vecindad de $M(x,y)$, y
en la direcci\'on $\hat{u}$. 
\item Deducir la amplitud compleja de la onda difractada por la
apertura en direcci\'on $\hat{u}$.
\item Estudiar la iluminaci\'on en la pantalla $E^{\prime}$: calcular
$I(x^{\prime},y^{\prime})$.  Use como dato que rayos paralelos que
pasen por una lente convergente, convergen en un punto del plano
focal, en este caso $E^{\prime}$ a una distancia $f$ de la lente. Un
rayo que pase por el centro de la lente no es deflectado, y el punto
de convergencia de rayos paralelos esta determinado por la
intersecci\'on de un rayo que pase por el centro de la lente y el
plano focal.
\end{enumerate}


{\bf \item  Difracci\'on por una red}

Construimos el montaje cl\'asico de estudio de difracci\'on en
infinito. La fuente $S$ es una rendija infinitamente delgada, normal
al plano de la Figura, y ubicada en el plano focal de una lente
convergente $L_1$ centrada en el eje \'optico. Observamos el
fen\'omeno de difracci\'on en el plano focal de una lente $L_2$,
centrada en el eje \'optico del montaje, y cuya distancia focal es
$f$. En todo el problema, nos limiteramos al caso de rayos pocos
inclinados sobre el eje \'optico.  Entre las dos lentes $L_1$ y $L_2$
podemos colocar varios diafragmas $D$ (pantallas con distintas
perforaciones) normales al eje \'optico. 

\begin{center}
\resizebox{13cm}{!}{\epsfig{file=red_dif.eps}} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 

\begin{enumerate}

\item La fuente luminosa $S$ es monocrom\'atica de longitud de onda
$\lambda$. El diafragma $D$ es constituido por dos rendijas identicas,
de ancho $a$ despreciable frente al largo de las rendijas, paralelas
entre ellas, cuyos separaci\'on es $b$, y perpendiculares al plano de
la Figura (rendijas de Young). $a$ no es despreciable frente a
$b$. Determinar la intensidad luminosa difractada en un punto $P$ del
plano de observaci\'on en function de la distancia $x$ de ese punto a
la imagen geom\'etrica $O$ de la fuente $S$ (en la intersecci\'on del
eje \'optico y el plano de observaci\'on). La rendija fuente y las
rendijas de $D$ son de largo infinito, y s\'olo estudiaremos la
intensidad en funci\'on de $x$.

\item dibujar la curva representando esta intensidad en funci\'on de
$x$. 
\end{enumerate}


\item El diafragma consiste ahora de $N$ rendijas identicas y
paralelas, de ancho $a$ muy chico comparado con el largo de las
rendijas, y cuyos centros son distantes de $b$ y perpendiculares al
plano de la Figura. Determinar el campo de intensidad obtenido en el
plano de observaci\'on. 

\item El diafragrama en cuesti\'on es una red por transmisi\'on, con
$N$ rendijas. Caracterisamos una red por la distancia entre dos
rendijas $b=L/N$, si $L$ es el ancho total de la red. Para esta parte
del problema, $a\ll b$, de manera que se puede aproximar como constante
la componente de modulaci\'on del campo de intensidad debido al ancho
finito de las rendijas. 

\begin{enumerate}
\item determinar el ancho a zero intensidad de las imagenes de la
fuente $S$ en el plano de observaci\'on (o sea el ancho de las
l\'{\i}neas de interferencias).

\item la fuente $S$ emite dos radiaciones de longitud de ondas vecinas
$\lambda$ y $\lambda + \Delta \lambda$. Describir el fen\'omeno
observado. Consideramos que dos imagenes de $S$ en el plano de
observaci\'on son distintas si, a lo menos, un m\'aximo principal de
intensidad luminosa correspondiente a $\lambda$ coincide con el
m\'{\i}nimo a zero intensidad de $\lambda + \Delta \lambda$ (o
inversamente). Deducir el poder de separaci\'on
$R=\lambda/\Delta\lambda$ de la red de difracci\'on.
\item Aplicaci\'on num\'erica: $L=50$\,mm,
$1/b=600$\,rendijas/mm. Determinar el ancho de cada imagen en el plano
de observaci\'on, y el poder de separaci\'on para el primer y el
segundo orden de interferencia (respuesta $R=30\,000$ para el primer
orden).
\end{enumerate} 

\item Observamos unicamente en el primer orden de interferencia. 

\begin{enumerate}

\item Determinar el intervalo espectral $\Delta\lambda$
correspondiente, en el plano focal de $L_2$, a una distancia $\Delta
x$ de los m\'aximos de interferencia (despreciamos la envoltura de
difracci\'on debida al ancho finito de cada rendija).

\item el montaje descrito en este problema constituye un esquema
b\'asico de un espectr\'ografo de red; la cantidad $\Delta
\lambda$/$\Delta x$ caracterisa la dispersi\'on del sistema. La
dispersi\'on se expresa en general en Angstr\"om por mm. Determinar,
en \AA/mm, la dispersi\'on del montaje, si la distancia focal $L_2$ es
de 150\,mm. Respuesta: $\Delta \lambda$/$\Delta x = 111~$\AA/mm.

\end{enumerate} 

\item Usamos ahora una fuente de luz blanca, es decir que emite en
todo el rango visible, desde $\lambda=0.4~\mu$m a $\lambda=0.7~\mu$m.
Determinar la longitud ocupada en el plano focal por los espectros de
los tres primeros ordenes. Respuesta: en el primer orden,
$x(0.4~\mu$m$)=36~$mm, $x(0.7~\mu$m$)=63~$mm, y el ancho total es de
27~mm; para el segundo orden $x(0.4~\mu$m$)=72~$mm,
$x(0.7~\mu$m$)=126~$mm, y el ancho total es de 54~mm; para el tercer
orden $x(0.4~\mu$m$)=108~$mm, $x(0.7~\mu$m$)=189~$mm, y el ancho total
es de 91~mm.

Que dificultad vamos a encontrar en la interpretaci\'on de los
espectros si observamos en ordenes superiores al primero? Ayuda: Hay
dos razones, una esta ligada con que si la red es realista, $a$ no es
despreciable delante de $b$, y la otra esta ligada al ancho de cada
orden.

\item Limitandosnos al primer orden, la aproximaci\'on de \'angulos
peque\~nos es v\'alida para todo el rango visible?

\end{enumerate} 

\end{enumerate} 


\end{document}
