Problemas, relatividad especial

1. Deducir las transformaciones de Lorentz suponiendo que $y=y^\prime$ y $z=z^\prime$. Para identificar los coeficientes de la transformacion lineal, usar el sistema de ecuaciones que deriva de los siguientes experimentos:
   1. El orígen de $S^\prime$ (en movimiento con respecto a $S$), tiene coordenas $x^\prime = 0$, $x=ut$.
   2. Una señal radio es emitida en todas direcciones desde el origen de $S$ y $S^\prime$, que coinciden en $t=0$. El rayo de luz es descrito por $x^2+y^2+z^2=(ct)^2$ en ambos sistemas.

2. Invertir la transformación de Lorentz, ver que es lo mismo que llevar $u \rightarrow -u$.

3. Demostrar que la ecuación de ondas:
   
   $$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = 0,$$
   
   
   no es invariante ante una transformación de Galileo, pero si ante una transformación de Lorentz.

4. Paradoja del garrochista y del granero. Una persona corre con velocidad $v$, tal que gamma es 2 respecto al granero, de largo 10m, llevando con sigo una garrocha de largo 20m. Las puntas de la garrocha se llaman $A^\prime$ y $B^\prime$, y las puertas del granero se llaman $A$ y $B$. Desde el punto de vista del granero se tiene la siguiente secuencia de eventos:
   1. la puerta $A$ se abre al coincidir $B^\prime$ con $A$,
   2. la puerta $B$ se cierra en forma simultánea con el evento 1.
   3. la puerta $B$ se abre al coincidir $B^\prime$ con $B$,
   4. la puerta $A$ se cierra en forma simultánea con el evento 3.
   Explique com es posible esto, desde el punto de vista de la garrocha.
   

5. Considere una barra en reposo de largo propio $L_\circ$ ubicada en forma paralela al eje horizontal del sistema inercial $S$, tal como se muestra en la figura. En $t=0$, la barra adquiere una velocidad uniforme $\vec{u}=u\hat{j}$, la que mantiene en todo instante posterior.
   
   $S^\prime$ es otro sistema de referencia, coincidente con $S$ en $t=t^\prime=0$, que se mueve con velocidad uniforme $\vec{v}=v\hat{i}$. Describir el movimiento de la barra en $S^\prime$.