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\pagestyle{empty}

\begin{document}


\begin{center}
\bf \Large Diagramas de Espacio-Tiempo. \\
\end{center}

\begin{center}
Referencia: Herbert Massmann, 1988, ``{\em Escuela de Talentos I,
Introducci\'on a la Teor\'{\i}a de la Relatividad Especial}'',
Biblioteca Central Fac. de Ciencias.
\end{center}

\begin{flushleft}
\Large {\bf I} \underline{Espacio-Tiempo, versi\'on Galileana}. 
\end{flushleft}

Considerar la siguiente situaci\'on:

\begin{center}
\resizebox{10cm}{!}{\epsfig{file=carros.eps}} 
\end{center}

Los observadores O$_1$ y O$_2$ se mueven con la misma velocidad $v/2$ y
con direcciones opuestas con respecto al observador O, que se
distingue formalmente como el observador estacionario. Para fijar
ideas, O es una estaci\'on de trenes, mientras que O$_1$ y O$_2$ son
trenes que se van alejando. Supongamos que O$_1$ y O$_2$ partieron en
$t=0$ desde el or\'{\i}gen del sistema de coordenadas ligado a O. 

La Figura~\ref{fig:esptgal} muestra el espacio-tiempo de O. Para leer
las coordenadas del evento $P$ en esta figura, dibujamos l\'{\i}neas
paralelas a los ejes temporales y espaciales. P tiene coordenas
$(x,ct)$ Para poder comparar el eje de los tiempos con el eje
espacial, hemos multiplicado los tiempos por una velocidad, en este
caso $c$. Las l\'{\i}neas verdes y azules corresponden a las l\'{\i}neas de
mundos de O$_1$ y O$_2$. Los \'angulos $\widehat{(ct,O_1)}$ y
$\widehat{(ct,O_2)}$ son iguales, y los podemos calcular usando un
evento en la l\'{\i}nea de mundo de O$_2$, digamos $E(x_E,ct_E)$. Si
$\alpha=\widehat{(ct,O_1)}$, $\tan \alpha = x_E/ct_E = v/2c$.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\resizebox{10cm}{!}{\epsfig{file=galesptiempo.eps}}
\end{center}
\caption{El espacio tiempo de O. Rayos de luz emitidos en $x=0$,
$t=0$, estan graficados en rojo - corresponden a las bisectrices de
los \'angulos $\widehat{(ct,x)}$.} \label{fig:esptgal}
\end{figure}

Imagenimos que asignamos escalas de unidades a las l\'{\i}neas de mundo de
O$_1$ y O$_2$, respectivamente $ct_1$ y $ct_2$, de tal forma que la
l\'{\i}nea horizontal que proyecta el evento P sobre el eje $ct$ cruce las
l\'{\i}neas $ct_1$ y $ct_2$ con $t_1=t_2=t$. Como las distancias desde el
or\'{\i}gen hasta $ct_1$ y $ct_2$ son las mismas, las unidades en los
ejes O$_1$ y O$_2$ son las mismas, pero son distintas de las de O.
Vemos que con la introducci\'on de estos ejes que la l\'{\i}nea de mundo de
O$_2$ es su propio eje temporal: un evento que le ocurre a O$_2$ (por
ejemplo aterriza una mosca en la nariz del chofer del tren), tiene
coordenada $x_2 =0$.

La Figura~\ref{fig:relgal} muestra como medir las coordenadas de un
evento P para los espacios-tiempos de O$_1$ y O$_2$, con l\'{\i}neas
paralelas a los ejes espaciales y temporales. Si queremos usar este
sistema para describir los espacio-tiempos de ambos observadores en
el mismo grafico, debemos revisar las unidades de los ejes y el
\'angulo $2\alpha=\widehat{(ct_1,ct_2)}$. Elegimos iguales las unidades
de $ct$ y de $x$. Vemos ahora que, para que sea posible usar el
sistema de proyecciones de P que se muestra en la
Figura~\ref{fig:relgal}, es necesario cambiar el \'angulo entre los
ejes temporales a:
\begin{equation}
\sin(\alpha)=\frac{x_2}{2ct_2}=v/2c.
\end{equation}
Ahora podemos confirmar que el diagrama de espacio-tiempos
Figura~\ref{fig:relgal} es consistente con las transformaciones de
Galileo:
\begin{eqnarray}
x_2 &  =  & x_1 - v t_1, \\ \nonumber 
t_2 & = & t_1.
\end{eqnarray}
Notar que la necesidad de que los ejes $x_1$ y $x_2$ sean paralelos
viene del postulado Galileano que la simultaneidad de dos eventos es
universal.



\begin{figure}[h]
\begin{center}
\resizebox{10cm}{!}{\epsfig{file=relgal.eps}}
\end{center}
\caption{Los espacios-tiempos de O$_1$ y O$_2$} \label{fig:relgal}
\end{figure}

Pero grafiquemos ahora las l\'{\i}neas de mundo de dos rayos de luz: unos
emitido por O$_1$, y el otro por O$_2$. Estas l\'{\i}neas corresponden
a las bisectrices de los \'angulos $\widehat{(x_1,ct_1)}$ y
$\widehat{(x_2,ct_2)}$ (tarea: convencerse de esto). En la
Figura~\ref{fig:brkrelgal}, vemos que los dos rayos de luz tienen
velocidades distintas en ambos referenciales. Es decir, en este
diagrama la velocidad de la luz no es una constante universal. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\resizebox{10cm}{!}{\epsfig{file=brkrelgal.eps}}
\end{center}
\caption{Dos rayos de luz con velocidades distintas.} \label{fig:brkrelgal}
\end{figure}

\begin{flushleft}
\Large {\bf II} \underline{Espacio-Tiempo, versi\'on relativista}. 
\end{flushleft}


En la Figura~\ref{fig:brkrelgal}, para que se cumpla el segundo
postulado de Einstein (la constancia de $c$), hubiese bastado con
cambiar el eje $x_1$ de manera  que el rayo de luz de O$_2$ caiga
tambi\'en en la bisectriz del \'angulo $(ct_,x_1)$. La
Figura~\ref{fig:rel1} ilustra esta idea. $ct_1$ es perpendicular a
$x_2$, y $ct_2$ es perpendicular a $x_1$. De este modo el diagrama es
equivalente para ambos observadores. 


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\resizebox{10cm}{!}{\epsfig{file=rel1.eps}}
\end{center}
\caption{Un diagrama relativista: el rayo de luz es la bisectriz de
los ejes temporales y espaciales de ambos observadores.} \label{fig:rel1}
\end{figure}


Falta determinar el \'angulo $\alpha$, que elegimos de tal modo a
poder usar la cl\'asica regla de proyecciones para las coordenadas del
evento P. Consideremos un evento en la l\'{\i}nea de mundo de O$_2$ (en el
eje $ct_2$), con coordenadas $(x_1,ct_1)$, vistas desde O$_1$:
\begin{equation}
\sin(\alpha)=\frac{x_1}{ct_1}=v/c.
\end{equation}

Finalmente, hemos logrado construir un diagrama relativista, para lo
cual la receta es (cambiando de notaci\'on de manera sugestiva: $x_2$
a $x$, y $x_1$ a $x^\prime$):

\begin{enumerate}
\item Graficar eje $c\hat{t}$, y normal a el, el eje $\hat{x}$.
\item Determinar $\alpha$ con $\sin(\alpha)=v/c$.
\item Graficar $c\hat{t^\prime}$, formando un \'angulo $\alpha$ con el
eje $c\hat{t}$.
\item Graficar el eje $\hat{x}$ perpendicular al eje
$c\hat{t^\prime}$.
\end{enumerate}

Dejamos como tarea deducir las transformaciones de Lorentz desde este
t\'{\i}po de gr\'aficos (llamados Diagramas de Loedel, 1948). 


\begin{flushleft}
\Large {\bf III} \underline{Causalidad y v$<$c}. 
\end{flushleft}

Consideremos dos eventos A y B conectados causalmente: A, un ni\~no
lanza una piedra a un vidrio, B, el vidrio se rompe.  El diagrama
espacio tiempo correspondiente est\'a gr\'aficado en la
Figura~\ref{fig:causal1}. La pendiente de la l\'{\i}nea que une A a B
corresponde a una velocidad menor que $c$ (tarea: confirmarlo). 


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\resizebox{8cm}{!}{\epsfig{file=causal.eps}}
\end{center}
\caption{Una piedra es lanzada en A y rompe un vidrio en B.} \label{fig:causal1}
\end{figure}


Que sucede si la piedra es un tachyon que va m\'as r\'apido que la
velocidad de la luz? El diagrama podr\'{\i}a ser el de la
Figura~\ref{fig:causal2}.  Vemos en este diagrama que $t_A<t_B$, mientras
que $t_A^{\prime}>t_B^{\prime}$. De una manera general, si la l\'{\i}nea
que une dos eventos corresponde a una part\'{\i}cula movimiendose con
velocidades mayor que $c$, siempre es posible encontrar un observador
para el cual el efecto pasa a ser la causa. Como las relaciones
causales estan a la base de la f\'{\i}sica, es imposible que $v>c$.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\resizebox{8cm}{!}{\epsfig{file=causa2.eps}}
\end{center}
\caption{Un tachyon es lanzado en  A y rompe un vidrio en B.} \label{fig:causal2}
\end{figure}



\end{document}







