Propagación de ondas electromagnéticas en medios dispersivos: Paquetes de ondas y velocidad de grupo

Repaso

1. Ecuación de ondas.

   En el vacío, las ecuaciones de Maxwell conducen a que $\vec{E}$ y $\vec{B}$ satisfacen la ecuación de ondas, que se puede escribir genéricamente como:
   

   $$\nabla^2 \psi -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t} =0,$$ (1)

   
   
   donde $\psi$ representa cada una de las componentes de $\vec{E}$ o $\vec{B}$. Las soluciones de Ec. 1 son funciones $Z(x \pm ct)$, o sea ondas propagandose hacia $+\hat{x}$ o $-\hat{x}$. En el caso de una perturbación finíta, podemos descomponer $Z(x-ct)$ en sus componentes espectrales:
   

   $$Z(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(k) e^{i(kx-\omega t)}dk.$$ (2)

   
   
   En el vacío, la relación de dispersión (la ecuación que liga $\omega$ con $k$), es simplemente $\omega(k)=kc$. La onda se propaga sin deformarse con velocidad $c$ hacia $+\hat{x}$. $f(k)$ es el espectro de la onda, que se puede ver como la superposicón de componentes monocromáticas.

2. Gaussianas y transformadas de Fourier.

   La transformada de una gaussiana es otra gaussiana: Si
   

   $$Z(x-ct)=Z_{\circ} \exp\left(-\frac{(x-ct)^2}{2\sigma^2}\right)=Z_{\circ}\exp\left(-\frac{u^2}{2\sigma^2}\right),$$ (3)

   
   
   con $u=x-ct$, entonces
   

   $$f(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} Z(u) e^{-iku} du = Z_\circ \sqrt{2 \pi} \sigma \exp\left( -\frac{\sigma k^2}{2}\right),$$ (4)

   
   
   y $f(k)$ es otra gaussiana con dispersion $\sigma_k=1/\sigma$.

Medio dispersivo

En los medio lineales y homogéneos, las ecuaciones de Maxwell se modifican y la ecuación de onda se reemplaza por la ecuación de propagación-absorpción, que es la ecuación de ondas con un término disipativo:

$$\nabla^2\psi -\frac{1}{c_1^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} -\gamma\mu \frac {\partial \psi}{\partial t} = 0,$$ (5)

con $\epsilon \mu = 1/c_1^2$. Buscando soluciones en ondas planas monocromáticas ,

$$\psi = \psi_{\circ} \exp[i(kx-\omega t)],$$ (6)

obtenemos la relación del dispersión para el medio,

$$-k^2+\epsilon \mu \omega^2+i\omega \gamma \mu =0.$$ (7)

Consideramos el caso en que la conductividad $\gamma=0$, o sea medios aislantes (dielectricos, en los conductores las ondas son evanescentes). Si $\gamma=0$ las soluciones del tipo Ec. 6 ya fueron estudiadas para la ecuación de ondas en el vacío. En el caso de los dielectrico, el índice de refracción depende generalmente de $\omega$.

Pero soluciones como las ondas planas monocromáticas no son físicas (se extienden hasta $\infty$), y para describir perturbaciones localisadas formamos un paquete de ondas:

$$Z(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(k) e^{i(kx-\omega t)}dk.$$ (8)

Claramente, es Re$[Z(x,t)]$ que cobra sentido físico y que describe la onda. En un medio dispersivo las soluciones de la ecuación de propagación-absorpción son paquetes de ondas. Notar que $Z(x,t) \neq Z(x-c_1 t)$, porque $c_1=c_1(k)$.

Como ejemplo, podemos formar un paquete de ondas que describa una gaussiana para $Z(x,t=0)$ tomando un $f(k)$ que también sea gaussiano:

$$f(k)=\exp(-\alpha^2(k-k_{\circ})^2),$$ (9)

que es una gaussiana con dispersión $\sigma_k = \frac{1}{\sqrt{2} \alpha}$, y con la Ec. 8,

$$Z(x,0) = \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} \int e^{ilx} e^{-\alpha^2 l^2} dl, ~~\mathrm{con}~ l=k-k_{\circ},$$ (10)

$$= \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} \int e^{-\alpha^2 (l-\frac{ix}{2\alpha^2})^2} e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}} dl,$$

$$= \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} e^{-\frac{x^2}{4 \alpha^2}} \unde... ...2 z^2} dz}_{\sqrt{\pi}/\alpha}, ~~\mathrm{donde} ~z = l - \frac{ix}{2\alpha^2},$$

y finalmente

$$Z(x,0) = \frac{1}{2\alpha\sqrt{\pi}}e^{ik_{\circ}x} e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}},$$ (11)

o sea Re $[Z(x,0)] = \frac {1}{2\alpha \sqrt{\pi}}\cos(k_{\circ} x) e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}}$.

Velocidad de grupo

Si $f(k)$ es una función localisada en torno a $k_{\circ}$, podemos expandir a primer orden

$$\omega(k) \sim \omega(k_{\circ}) + (k-k_{\circ}) \left. \frac{\partial \omega}{\partial k} \right\vert _{k_{\circ}}.$$ (12)

Para ello, despreciamos $\frac{1}{2}(k-k_{\circ})^2 \left. \frac{\partial^2\omega}{\partial k^2}\right\vert _{k_\circ}$, lo cual es válido si la exponential decrece suficientemente rápido. O sea, requerimos

$$(k-k_{\circ})^2 < 2 \sigma_k^2,$$ (13)

$$(k-k_{\circ})^2 \ll 2 \frac{1}{\omega(k_{\circ})}\left. \frac{\partial^2\omega}{\partial k^2}\right\vert _{k_\circ},$$

y vemos que la expansión Ec. 12 es válida sólo cuando

$$\sigma_k^2 \ll \frac{1}{\omega(k_{\circ})}\left. \frac{\partial^2\omega}{\partial k^2}\right\vert _{k_\circ},$$ (14)

es decir cuando $f(k)$ es suficientemente angosta.

Con la expansion Ec. 12, el paquete de ondas Ec. 8, se escribe

$$Z(x,t)=\frac{1}{2\pi} e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(k_{\circ}+l) e^{il(x-v_gt)} dl,$$ (15)

en que definimos $l=k-k_{\circ}$ y la velocidad de grupo,

$$v_g = \left. \frac{\partial \omega}{\partial \omega} \right\vert _{k_{\circ}}.$$ (16)

Finalmente,

$$Z(x,t)=a(x-v_gt) e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)},$$ (17)

donde $a(x)$ es la envoltura en $t=0$, que se propaga con $v_g$.

Dispersión del paquete de ondas

Si incluimos el término de segundo orden en la expansión Ec. 12,

$$\omega(k) \sim \omega(k_{\circ}) + (k-k_{\circ}) \left. \fra... ...rac{\partial^2 \omega}{\partial k^2} \right\vert _{k_{\circ}},$$ (18)

tomamos $f(k)=\exp(-\frac{(k-k_\circ)^2}{2\sigma_k^2})$, después de un poco de cálculo obtenemos

$$Z(x,t)=\frac{1}{2\pi} e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)... ...c{1}{\sigma_k^2}+i\omega^{\prime\prime}t)} e^{il(x-v_gt)} dl,$$ (19)

con $\omega^{\prime\prime}= \left. \frac{\partial^2 \omega}{\partial k^2} \right\vert _{k_{\circ}}$. Definiendo $\frac{1}{\sigma_l^2}=\frac{1}{\sigma_k^2}+i\omega^{\prime\prime}t$ y $u=x-v_gt$,

$$Z(x,t)= e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)} \overbrace{\frac{1}{2\pi} \i... ...igma_l^2}} e^{ilu}}^{\frac{\sigma_l}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{u^2}{2\sigma^2})},$$ (20)

$$= e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)} \frac{e^{-\frac{u^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}, ~\mathrm{con}$$

$$\sigma^{-2} = \frac{\frac{1}{\sigma_k^2} - i \omega^{\prime\prime}t}{\frac{1}{\sigma_k^4}+ (\omega^{\prime\prime}t)^2}.$$

Vemos que, si bien la expresión para Re$[Z(x,t)]$ es complicada, hay una envoltura gaussiana con una dispersión que crece con el tiempo:

$$\mathrm{Re}[\sigma^2]=\frac{1}{\sigma_k^2}+(\omega^{\prime\prime}t)^2.$$ (21)

En conclusión, el incluir el segundo orden en la expansión Ec. 12 pone en evidencia que al transcurir el tiempo, se enancha el paquete de ondas.