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Propagación de ondas electromagnéticas en medios dispersivos: Paquetes de ondas y velocidad de grupo



Repaso

Medio dispersivo

En los medio lineales y homogéneos, las ecuaciones de Maxwell se modifican y la ecuación de onda se reemplaza por la ecuación de propagación-absorpción, que es la ecuación de ondas con un término disipativo:

\begin{displaymath}
\nabla^2\psi -\frac{1}{c_1^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}
-\gamma\mu \frac {\partial \psi}{\partial t} = 0,
\end{displaymath} (5)

con $\epsilon \mu = 1/c_1^2$. Buscando soluciones en ondas planas monocromáticas ,
\begin{displaymath}
\psi = \psi_{\circ} \exp[i(kx-\omega t)],
\end{displaymath} (6)

obtenemos la relación del dispersión para el medio,
\begin{displaymath}
-k^2+\epsilon \mu \omega^2+i\omega \gamma \mu =0.
\end{displaymath} (7)

Consideramos el caso en que la conductividad $\gamma=0$, o sea medios aislantes (dielectricos, en los conductores las ondas son evanescentes). Si $\gamma=0$ las soluciones del tipo Ec. 6 ya fueron estudiadas para la ecuación de ondas en el vacío. En el caso de los dielectrico, el índice de refracción depende generalmente de $\omega$.

Pero soluciones como las ondas planas monocromáticas no son físicas (se extienden hasta $\infty$), y para describir perturbaciones localisadas formamos un paquete de ondas:

\begin{displaymath}
Z(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(k) e^{i(kx-\omega t)}dk.
\end{displaymath} (8)

Claramente, es Re$[Z(x,t)]$ que cobra sentido físico y que describe la onda. En un medio dispersivo las soluciones de la ecuación de propagación-absorpción son paquetes de ondas. Notar que $Z(x,t) \neq Z(x-c_1 t) $, porque $c_1=c_1(k)$.

Como ejemplo, podemos formar un paquete de ondas que describa una gaussiana para $Z(x,t=0)$ tomando un $f(k)$ que también sea gaussiano:

\begin{displaymath}
f(k)=\exp(-\alpha^2(k-k_{\circ})^2),
\end{displaymath} (9)

que es una gaussiana con dispersión $\sigma_k = \frac{1}{\sqrt{2}
\alpha}$, y con la Ec. 8,
$\displaystyle Z(x,0)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} \int e^{ilx} e^{-\alpha^2
l^2} dl, ~~\mathrm{con}~ l=k-k_{\circ},$ (10)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} \int e^{-\alpha^2
(l-\frac{ix}{2\alpha^2})^2} e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}} dl,$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi} e^{ik_{\circ} x} e^{-\frac{x^2}{4 \alpha^2}}
\unde...
...2 z^2} dz}_{\sqrt{\pi}/\alpha}, ~~\mathrm{donde} ~z = l -
\frac{ix}{2\alpha^2},$  

y finalmente
\begin{displaymath}
Z(x,0) = \frac{1}{2\alpha\sqrt{\pi}}e^{ik_{\circ}x}
e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}},
\end{displaymath} (11)

o sea Re $[Z(x,0)] = \frac {1}{2\alpha \sqrt{\pi}}\cos(k_{\circ} x)
e^{-\frac{x^2}{4\alpha^2}}$.

Velocidad de grupo

Si $f(k)$ es una función localisada en torno a $k_{\circ}$, podemos expandir a primer orden

\begin{displaymath}
\omega(k) \sim \omega(k_{\circ}) + (k-k_{\circ}) \left. \frac{\partial
\omega}{\partial k} \right\vert _{k_{\circ}}.
\end{displaymath} (12)

Para ello, despreciamos $\frac{1}{2}(k-k_{\circ})^2 \left. \frac{\partial^2\omega}{\partial
k^2}\right\vert _{k_\circ}$, lo cual es válido si la exponential decrece suficientemente rápido. O sea, requerimos
$\displaystyle (k-k_{\circ})^2$ $\textstyle <$ $\displaystyle 2 \sigma_k^2,$ (13)
$\displaystyle (k-k_{\circ})^2$ $\textstyle \ll$ $\displaystyle 2 \frac{1}{\omega(k_{\circ})}\left. \frac{\partial^2\omega}{\partial
k^2}\right\vert _{k_\circ},$  

y vemos que la expansión Ec. 12 es válida sólo cuando
\begin{displaymath}
\sigma_k^2 \ll
\frac{1}{\omega(k_{\circ})}\left. \frac{\partial^2\omega}{\partial
k^2}\right\vert _{k_\circ},
\end{displaymath} (14)

es decir cuando $f(k)$ es suficientemente angosta.

Con la expansion Ec. 12, el paquete de ondas Ec. 8, se escribe

\begin{displaymath}
Z(x,t)=\frac{1}{2\pi} e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(k_{\circ}+l) e^{il(x-v_gt)} dl,
\end{displaymath} (15)

en que definimos $l=k-k_{\circ}$ y la velocidad de grupo,
\begin{displaymath}
v_g = \left. \frac{\partial \omega}{\partial \omega} \right\vert _{k_{\circ}}.
\end{displaymath} (16)

Finalmente,
\begin{displaymath}
Z(x,t)=a(x-v_gt) e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)},
\end{displaymath} (17)

donde $a(x)$ es la envoltura en $t=0$, que se propaga con $v_g$.

Dispersión del paquete de ondas

Si incluimos el término de segundo orden en la expansión Ec. 12,

\begin{displaymath}
\omega(k) \sim \omega(k_{\circ}) + (k-k_{\circ}) \left. \fra...
...rac{\partial^2
\omega}{\partial k^2} \right\vert _{k_{\circ}},
\end{displaymath} (18)

tomamos $f(k)=\exp(-\frac{(k-k_\circ)^2}{2\sigma_k^2})$, después de un poco de cálculo obtenemos
\begin{displaymath}
Z(x,t)=\frac{1}{2\pi} e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)...
...c{1}{\sigma_k^2}+i\omega^{\prime\prime}t)} e^{il(x-v_gt)} dl,
\end{displaymath} (19)

con $\omega^{\prime\prime}= \left. \frac{\partial^2 \omega}{\partial
k^2} \right\vert _{k_{\circ}}$. Definiendo $\frac{1}{\sigma_l^2}=\frac{1}{\sigma_k^2}+i\omega^{\prime\prime}t$ y $u=x-v_gt$,
$\displaystyle Z(x,t)=$ $\textstyle e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)}
\overbrace{\frac{1}{2\pi} \i...
...igma_l^2}}
e^{ilu}}^{\frac{\sigma_l}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{u^2}{2\sigma^2})},$   (20)
$\displaystyle =$ $\textstyle e^{i(k_{\circ}x - \omega(k_{\circ}) t)}
\frac{e^{-\frac{u^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}, ~\mathrm{con}$    
$\displaystyle \sigma^{-2} =$ $\textstyle \frac{\frac{1}{\sigma_k^2} - i \omega^{\prime\prime}t}{\frac{1}{\sigma_k^4}+ (\omega^{\prime\prime}t)^2}.$    

Vemos que, si bien la expresión para Re$[Z(x,t)]$ es complicada, hay una envoltura gaussiana con una dispersión que crece con el tiempo:
\begin{displaymath}
\mathrm{Re}[\sigma^2]=\frac{1}{\sigma_k^2}+(\omega^{\prime\prime}t)^2.
\end{displaymath} (21)

En conclusión, el incluir el segundo orden en la expansión Ec. 12 pone en evidencia que al transcurir el tiempo, se enancha el paquete de ondas.




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simon 2002-05-27